Теорема Піфагора: історія, формули та доведення

Теорема Піфагора – одна з найвідоміших геометричних теорем, котра встановлює, що в прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

Відео дня

Більшість науковців вважають, що теорема Піфагора була доведена давньогрецьким математиком і філософом Піфагором (або Пітагором). Проте є версія, що теорему знали і до його народження. Доказом цього є те, що в Стародавньому Єгипті знали, що трикутник, в якого сторони мають 3 см, 4 см і 5 см, є прямокутним. А про інші теореми ви можете дізнатися в підручнику з геометрії за 8 клас А.Г. Мерзляка.

Історія теореми Піфагора

Ще в дитинстві Піфагор відзначився цікавістю до точних наук. Згодом він переїхав жити на острів Лесбос, де познайомився з Фалесом Мілетським – давньогрецьким філософом і математиком, який довів теореми про три точки на колі та пропорційні відрізки. За час, коли Піфагор навчався в Мілетській школі, він вивчав астрологію, медицину, прогнози затемнень та інші важливі на той час науки. Лекції Фалеса та його учня Анаксимандра відіграли важливу роль для Піфагора.

Після навчання в Єгипті, полону у Вавилоні, у 60 років Піфагор вирішує повернутися додому, щоб поділитися своїми знаннями з народом. Згодом він відкрив власну школу, в якій геометрія вперше виступає як самостійна наука.

Про те, що квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів, знали задовго до народження Піфагора. Але саме він вважається першим ученим, який довів співвідношення сторін трикутника.

Формули

У теоремі Піфагора йдеться про те, що в прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

Нехай ВС = а; АС = b; АВ = с.

Тоді маємо таку формулу, яка застосовується при знаходженні невідомої сторони в прямокутному трикутнику, коли дві інші – відомі:

Коли ми визначили квадрат гіпотенузи, потрібно знайти квадратний корінь. Таку ж формулу ми можемо застосувати до невідомого катета:

А більше малюнків і формул ви можете побачити в онлайн уроці за 8 клас з геометрії на тему "Метричні співвідношення в прямокутному трикутнику. Теорема Піфагора".

Доведення теореми Піфагора

1. Алгебраїчне доведення

Найпопулярніший і найпростіший метод доведення теореми пов'язаний з площами фігури.

Потрібно розташувати однакові прямокутнi трикутники так, щоб всередині утворився квадрат. Кожна сторона зовнішнього квадрата повинна складатися з суми катетів прямокутного трикутника a + b.

Площу цього квадрата можна буде знайти завдяки формулі:

Внутрiшнiй чотирикутник можна вважати квадратом, адже, якщо додати два гострі кути прямокутного трикутника, то вийде 90°. Слід вважати, що площа зовнішнього квадрата складається з площi внутрiшнього квадрата і чотирьох площ однакових прямокутних трикутників. Отже, у висновку:

Отже, теорема Пiфагора доведена.

2. Доведення Евкліда

Доведення Евкліда також має назву "Піфагорові штани". Її так назвали, тому що сума площі квадратів, які утворені з використанням катетів прямокутного трикутника дорiвнює площi квадрата, який побудований на гіпотенузі цього ж трикутника. Квадрати нагадували учням чоловічі штани.

На прикладі наведених картинок нижче можна побачити, як оригінально передали суть доведення Евкліда.

У вашому підручнику не було таких доведень? Ви можете знайти інший в розділі "Підручники з геометрії за 8 клас".

Приклад задачі на застосування теореми Піфагора

Умови задачі. У трикутнику ABC дано: ∠C = 90°, BC = 20 см, AC = 15 см. Знайти сторону AB.

Розв'язання. Оскільки в трикутнику АВС ∠С = 90°, отже, за теоремою Піфагора маємо:

АВ² = BС² + АС²; AВ² = 20² + 15², AВ² = 625, AB = √625, AB = 25 см.

Якщо вам потрібно розв'язати задачу за допомогою теореми Піфагора, а ви сумніваєтесь в кінцевій відповіді, тоді можете перевірити свої знання завдяки розділу "ГДЗ та відповіді з геометрії за 8 клас".

А якщо ви бажаєте міцніше закріпити знання з інших тем з геометрії, то можете переглядати відео в розділі "Онлайн уроки за 8 клас з геометрії". Дізнайтеся більше про перпендикуляр і похилу, суму кутів опуклого трикутника, площу квадрата і прямокутника, розв'язування задач методом площ тощо.